La logica booleana è il linguaggio fondamentale dei sistemi digitali.
Lavora con due valori, vero (1) e falso (0), e usa operatori come AND (∧), OR (∨), NOT (¬), oltre a composti come NAND, NOR, XOR (⊕). Imparare a costruire e leggere le tavole di verità aiuta a sviluppare capacità di analisi, a comprendere il funzionamento dei circuiti e a ragionare sulle condizioni nei programmi.
Legenda operatori (richiamo veloce)
- ¬p (NOT): vero se p è falso.
- p ∧ q (AND): vero solo se p e q sono entrambi veri.
- p ∨ q (OR): vero se almeno uno tra p e q è vero.
- p ⊕ q (XOR): vero se esattamente uno tra p e q è vero.
- p NAND q: ¬(p ∧ q).
- p NOR q: ¬(p ∨ q).
- Equivalenza (≡): due enunciati sono equivalenti se hanno sempre lo stesso valore di verità.
(A) Valutare gli enunciati composti costruendo le tavole di verità
Per ogni voce, costruisci la tavola di verità (variabili come da enunciato) e calcola il valore dell’espressione.
(p ∨ ¬q) ∧ r
(p ∧ r) ∨ (¬q ∧ r)¬(p ∨ (q ∧ r))
(¬p) ∧ (¬q ∨ ¬r)(p NAND q) ∧ (p NOR q)(¬p ∨ q) ∧ (p ∨ ¬q)(p ⊕ q) ⊕ r
p ⊕ (q ⊕ r)¬(p ⊕ q)
(p ∧ q) ∨ (¬p ∧ ¬q)(p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ r)¬p ∧ (q ∨ r)
(¬p ∧ q) ∨ (¬p ∧ r)(p ∨ q) ∧ (¬p ∨ r)¬(p NOR r)
p ∨ r
(B) Equivalenze logiche: costruisci le tavole e stabilisci se sono equivalenti
p ∨ (q ∧ ¬r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ ¬r)(p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ ¬q) ≡ ¬q¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q(p ∨ q) ∧ (p ∨ r) ≡ p ∨ (q ∧ r)p ⊕ (q ⊕ r) ≡ (p ⊕ q) ⊕ rp ⊕ q ≡ (p ∧ q) ∨ (¬p ∧ ¬q)(p ∧ ¬q) ∨ (q ∧ ¬r) ≡ (p ∨ q) ∧ (¬q ∨ ¬r)¬(p ∨ (q ∨ r)) ≡ (¬p) ∧ (¬q) ∧ (¬r)(p ⊕ q) ⊕ (¬r) ≡ p ⊕ (q ⊕ ¬r)
(C) Valutazione con enunciati semplici assegnati
Per ciascun esercizio: 1) costruisci la tavola di verità; 2) valuta gli enunciati semplici con i valori dati; 3) calcola il valore finale dell’enunciato composto.
(p ∨ ¬q) ∧ r
p: (x ≥ 0) con x = −2
q: (y < 5) con y = 7
r: (z = 3) con z = 3¬(p ∧ q) ∨ r
p: (a > 1) con a = 1
q: (b ≠ 0) con b = 0
r: (c ≤ 4) con c = 5(p NAND q) ⊕ r
p: (m < 10) con m = 12
q: (n ≥ −1) con n = −1
r: (k ≠ 2) con k = 2¬(p ∨ r) ∧ (q ∨ ¬r)
p: (x = 0) con x = 0
q: (y > 2) con y = 5
r: (z ≤ 1) con z = 4(¬p ∨ q) ∧ (p ∨ ¬q)
p: (a ≥ 5) con a = 6
q: (b ≤ −2) con b = −2¬(p ⊕ q) ∨ r
p: (t ≠ 0) con t = 0
q: (u = 7) con u = 7
r: (v > 1) con v = −3(p ∨ q) ∧ (¬p ∨ r)
p: (x ≤ 4) con x = 5
q: (y = −1) con y = −1
r: (z < 10) con z = 8¬(p ∧ (q ∨ r))
p: (a > 3) con a = 4
q: (b ≠ 1) con b = 1
r: (c ≤ 0) con c = −2
(D) Semplificazione algebrica (usa anche le leggi di De Morgan)
¬(p ∨ (¬q))
p: (x > 2)
q: (y ≤ −1)¬((p ∧ r) ∨ q)
p: (a < 5)
q: (b ≥ 0)
r: (c ≠ 2)(¬p ∨ q) ∧ (¬p ∨ ¬q)
p: (m ≥ 7)
q: (n < 3)¬(p NOR q) ∧ ¬(p XOR q)
p: (u ≠ 0)
q: (v ≤ 4)¬((¬p ∧ q) ∨ (r ∧ ¬q))
p: (k > 1)
q: (h ≤ 8)
r: (t = −5)
Come costruire rapidamente una tavola di verità (guida)
Guida pratica: come costruire una tavola di verità
- Individua le variabili: conta quante sono (p, q, r…).
– 2 variabili → 4 righe (2²).
– 3 variabili → 8 righe (2³).
– 4 variabili → 16 righe (2⁴). - Scrivi tutte le combinazioni di valori possibili (0 = falso, 1 = vero). Usa un ordine sistematico: alterna 0 e 1 come in un contatore binario.
- Calcola le colonne intermedie: prima risolvi le parti più semplici (es. ¬p, q ∧ r, p ∨ q) e poi costruisci passo dopo passo l’espressione principale.
- Evidenzia i risultati finali: metti in grassetto o in una colonna separata i valori dell’enunciato completo.
- Attenzione agli operatori speciali:
– NAND = ¬(p ∧ q) → è falso solo se p e q sono entrambi veri.
– NOR = ¬(p ∨ q) → è vero solo se p e q sono entrambi falsi.
– XOR = p ⊕ q → è vero se esattamente uno tra p e q è vero (somma modulo 2). - Per verificare equivalenze: confronta l’ultima colonna di ciascun enunciato. Se i valori coincidono riga per riga, le formule sono equivalenti.